Teorema de probabilidad total

Teorema de probabilidad total

Supongamos que los eventos A1, A2,. . ., An. Forman una partición del espacio muestral S y sea B otro evento que tenga intersección con los eventos Ai.

Poner dibujo de la partición e intersección con el evento B

Sabemos que S = A1 È A2 È . . . An. De acuerdo a la ley de identidad vista en álgebra de conjuntos, podemos escribir que:

B = S Ç B = (A1 È A2 È . . . È An) Ç B = (A1 Ç B) È (A2 Ç B) È . . . È(An Ç B)

Donde (Ai È B) son eventos mutuamente excluyentes. En consecuencia:

P(B) = P(A1 Ç B) + P(A2 Ç B) + . . . + P(An Ç B)

Aplicando la Regla de Multiplicación en cada uno de los sumandos obtenemos la siguiente ecuación:

P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An)

La cual podemos escribir como:

 

Que es conocida como Teorema de Probabilidad Total.